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このブログは色々な人が適当に投稿するブログ

複素数ってすごいよね

複素数について復習したい~その1〜

複素数って便利だよね。なんで便利なのかわからんけどね。よく忘れるから復習しときたい。メインは複素積分です。留数定理できたら満足。複素関数微分、グリーンの定理、コーシーリーマン関係式はここでは知っているものとします。

複素積分の定義

{ \displaystyle \int_cf(z)dz=\lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^{n}f(y_k)(z_k-z_{k-1}) }
ここで{\displaystyle y_k}{\displaystyle z_k\lt y_k\lt z_{k+1}}
見ての通り複素平面上の線積分で定義されています。

コーシーの積分定理

複素平面上の任意の閉曲線Cについて一周周回積分をする。なお閉曲線内においてf(z)は正則。この時
{ \displaystyle \oint_cf(z)dz=0}
が成立する。

コーシーの積分定理を証明
グリーンの定理を途中で使う
\displaystyle\begin{align} \oint_cf(z)dz &= \oint_c(u+iv)\cdot(dx+idy)\\ & =\oint_c(udx-vdy)+i\oint_c(vdx+udy) \\
&=\iint_c\left(\frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y}\right)dxdy+i\iint_c\left(\frac{\partial u}{\partial x}-\frac{\partial  v}{\partial y}\right)dxdy
\end{align}
ここで、f(z)はC内で正則なのでコーシー・リーマン関係式が成り立つ
\displaystyle \begin{align}\frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y}&=0\\ \frac{\partial u}{\partial x}-\frac{\partial  v}{\partial y}&=0\end{align}
よって、
{ \displaystyle \oint_cf(z)dz=0}が導かれた。

F(z)って二次元の保存力みたいな働きするよね。定義上始点と終点によるしな...