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このブログは色々な人が適当に投稿するブログ

解析力学復習(量子力学もあるよ)

オイラーラグランジュ方程式

 \displaystyle \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}\right)-\frac{\partial L}{\partial q_i}=0
解析力学における基本方程式。中身は運動方程式と同じ。ラグランジアンはエネルギーで構成されているので多体系の記述に便利。変分原理で頑張って導出。

ハミルトン方程式

 \displaystyle 
\begin{eqnarray*}
\dot{q}_i&=&\frac{\partial H}{\partial p_i}\\
\dot{p}_i&=&-\frac{\partial H}{\partial q_i}
\end{eqnarray*}
オイラーラグランジュ方程式ルジャンドル変換したら出てくるかっこいい式。主に式変形において初学者をいい意味で驚かせてくれる。

微分(ラグランジュ微分)~ポアソン括弧を用いて~

 \displaystyle 
\begin{eqnarray*}
\frac{dX(q_i,p_i,t)}{dt}&=&\frac{\partial X}{\partial t}+\sum_i\left(\frac{\partial X}{\partial q_i}\frac{\partial q_i}{\partial t}+\frac{\partial X}{\partial p_i}\frac{\partial p_i}{\partial t}\right)\\


&=&\frac{\partial X}{\partial t}+\sum_i\left(\frac{\partial X}{\partial q_i}\frac{\partial H}{\partial p_i}-\frac{\partial X}{\partial p_i}\frac{\partial H}{\partial q_i}
\right)\\

&=&\frac{\partial X}{\partial t}+\left\{X,H\right\}
\end{eqnarray*}
式変形の途中でハミルトン方程式を用いた。そうすることでポアソン括弧が用いることができるようになった。もしある物理量が時間に対してexplicitに依らない場合

 \displaystyle 
\begin{eqnarray*}
\frac{dX}{dt}&=&\left\{X,H\right\}
\end{eqnarray*}
となる。その量が保存するかどうかはハミルトニアンとの交換関係が成り立つかによるというのは量子力学でよく聞く話だ。

ハイゼンベルグ方程式(おまけ)

 \displaystyle \frac{d\hat{X}}{dt}=\frac{1}{i\hbar}[\hat{X},\hat{H}(t)]
とてもよく似た式だ。ふと思ったけど分母にある位置と運動量が量子化されてihが出てくるのかな。あまり真剣に考えてないけど。