2018-04-23

色々な形の円

きゅうり

円って綺麗ですよね。無駄のない感じが最高。
いくら回転させても同じ形。誰が描いても必ず相似形。

ここでたとえ話。
ある日、あなたが「円ってすごいなぁ」とつぶやきながら夜道を歩いていると、
空からUFOが来て宇宙人があなたの目の前に現れたとする。
その宇宙人はほんやくコンニャクをおもむろに食べ始め、「円ってなんですか」と聞いてくる。
あなたはポケットから財布...ではなく、紙を取り出して円を描いてみせる。
すると宇宙人は「鳥目だから暗いと目が見えない。言葉で説明して」と言ってくる。

この時、あなたは宇宙人にどのように説明しますか？
カクカクしてない図形？丸い図形？

数学が少し得意だったらこう言えば良いと思いつく。
「ある点から距離が等しい点を結んでできる図形だよ。」
完璧だ。これで宇宙人に円を伝えられた。
と言いたいところだが宇宙人の脳の中ではあなたの思ってもいない円ができているかもしれない。

ここで距離について復習しよう。
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図のようにある点(a,b)があったとして、原点からこの点までの距離をものさしで測れと言われたら皆さんはどこを測るだろうか。誰もが図の赤い線の長さを測るだろう。
ものさしで斜めの線を測れなくても、三平方の定理を使えば
$\mathrm{(距離)}=\sqrt{a^2+b^2}$
と表せる。実は、距離がこれで定義される空間をユークリッド空間という。
原点からこの距離が等しくなるところを全て結べばいい。そうすると図のようになる。
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やっぱり完璧じゃないか。

でも、待ってほしい。宇宙人にとっての距離はその定義であってるのか?もし、宇宙人にとっての距離がこのようになっていたら？
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この図の緑や赤の線を距離と思っていたらどうなるだろうか。実はこれ、数学的にはマンハッタン距離と呼ばれていて、マンハッタンや京都の格子状の街並のようになっていて、間のマスの中にはビルがあり横切ることはできない。渡ることができるのはアベニューとストリートだけという距離の考え方だ。この時の距離の定義は
$\mathrm{(距離)}=|a|+|b|$
となる。もし宇宙人にとっての距離がこうならば円はこのような形になる。
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ひし形やん...。

このように、距離の概念が違うと図形そのものが変わって来る。数学的には距離はある条件さえ満たせばなんでも良いので、距離の定義を明らかにするのはとても大切だ。例えば、思い切って
$\mathrm{(距離)}=\sqrt{a^2-b^2}$
という定義を使ってもok。馴染みの定義に似ているが中身をよく見るとマイナスになっている。この場合の円はこれ。
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もはや囲まれた図形ですらない。これは双曲線関数だ(適当に書いた)。このような空間をミンコフスキー空間と言って、一見役にたたなさそうだが特殊相対性理論などでは大活躍し、これを使えば、かの有名な $E=mc^2$ も理解できるようになる。この空間上に引かれる運動を表す線のことを世界線と読んだりする。

ここまでの話で円にも色々あることがわかったと思う。したがって宇宙人にはこう返すべきだ。
「私たちには距離がある。」

2017-12-16

Schrodinger equation

きゅうり

Do you know Schrodinger equation?
$\displaystyle \left(-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+V(r)\right)\psi(r,t)=i\hbar\frac{d}{dt}\psi(r,t)$

It is one of the most important equations in quantum physics. It looks very difficult but the equation just shows energy of a particle. I will explain that at this article.

In classical physics(dynamics), the sum of kinetic energy and potential energy is total energy.
The total energy of a particle is shown by the following equation
$\displaystyle E=K+V,$
where K is kinetic energy, V is potential energy and E is total energy and constant value.

Assuming the mass of the particle is m and the momenta is P, the kinetic energy equals to $\displaystyle p^2/2m$ . Substituting the equation into the equation of energy, you can obtain
$\displaystyle E=\frac{p^2}{2m}+V.$

This equation is similar to Schrodinger equation, isn't it?

In quantum physics, physical value is operator. The eigenstates are wavefunctions. we can observe eigenvalues of the operator by experiments.The operator of energy and momentum are
$\displaystyle \hat{p}\rightarrow i\hbar\nabla,\hspace{3mm}\hat{E}\rightarrow i\hbar\frac{d}{dt}$
respectively.
This replacement is called quantization.

Therefore the classical energy equation converts to
$\displaystyle i\hbar\frac{d}{dt}\psi(r,t)=\left(-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+V(r)\right)\psi(r,t)$

Schrodinger eq was derived!

2017-12-10

あらいやかしこ！

とおる

やっはろー！

昨日はあらいやかしこのライブに行ってまいりました！

VOCALOID好きな人は知ってるのかな…梨本ういさん率いるバンドで、福岡に3年ぶり

セトリも凄くて、ワルツ子豚のぶーちゃん目やにの流れは凄く懐かしかった

あとはおえおえおとかPTAとかも盛り上がったし…CDにサインも貰えて良かった！

また来年来ますっていうあらいやかしこさん達の言葉を信じて頑張ろうと思う

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2017-11-23

カフェインハイテンション 2

ざら紙

甘さを調節してたら二ヶ月近く経ちました珈琲酒
濾過して豆取り除いて完成

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10倍希釈くらいで楽しめる

2017-11-03

自然と戯れる

とおる

三連休なので、耶馬溪までいってみました！

青の洞門まで足を伸ばした格好に。

免許取ってすぐ行った依頼で懐かしいやらなんやら…

急カーブ多いじゃん！とか思ってたのにそんなに急カーブ無かったり。

運転に成長を感じたりして笑

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さてさて、紅葉が良い季節かなと思ったんだけど、もうあと1週間くらいで見頃と言われて…。

ただ、お土産屋さんの片隅にあった小さな小さなモミジはとても綺麗で。

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花にしても葉にしても。

自然は散り様が美しいですね。

見習っていきたいものです。

とおる

2017-09-08

太陽フレア

きゅうり

なにやら太陽フレアが流行っていますね。

お天道様からすごい奴が飛んでくるらしい。どうやってそんなことが起こるんだろう。wikipediaには、

「太陽活動領域中に蓄えられた磁気エネルギーが、磁気再結合によって熱エネルギーや運動エネルギーに変換されるという説が有力である。」

て書いてありました。磁気再結合(Magnetic reconnection)ってのを調べましたがよくわかりません。太陽内のプラズマが磁場による圧力で飛び出る感じですか？わかりません。

少し話が変わりますけど、光が電磁波の一種であることって一般的に知られてないですよね。Maxwell方程式から電磁波の波動方程式出した時は感動しました。今からやります(電場だけ)。

真空中を考えます。
Maxwell方程式より
$\displaystyle \mathrm{rot}\vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}$

両辺を回転取れば
$\displaystyle \mathrm{rotrot}\vec{E}=-\frac{\partial \mathrm{rot}\vec{B}}{\partial t}$

また、真空中のMaxwell方程式より
$\displaystyle \mathrm{rot}\vec{B}=\frac{1}{c^2}\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}$

であるので、これを代入すると、
$\displaystyle \mathrm{rotrot}\vec{E}=-\frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{1}{c^2}\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}\right)$

となる。左辺についてベクトル解析の公式より
$\displaystyle \mathrm{grad(div}\vec{E})-\Delta\vec{E}=-\frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{1}{c^2}\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}\right)$